Question

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量 a =(-1，2)，又点A（8，0），B（n，t），

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量 a =(-1，2)，又点A（8，0），B（n，t），C（ksinθ，t）．
（1）若 AB ⊥ a ，且| AB |=
5 | OA |，求向量 OB ．
（2）若向量 AC 与向量 a 共线，常数k＞4，当tsinθ取最大值4时，求 OA OC ．

Answer 1

(1)向量AB=(n-8，t)
由向量AB垂直于向量a得 -1(n-8)+2t=0即n=2t+8
由AB的模等于√5乘以OA的模得 (n-8)+t=(8√5)=320
解方程组可得t=8，n=24或t=-8，n=-8
所以向量OB=(24,8)或(-8,-8)
(2)向量AC=(ksinα-8，t)
由向量AC与向量a共线得 -t-2(ksinα-8)=0即t=16-2ksinα
tsinα=-2ksinα+16sinα=-2k(sinα-4/k)+32/k
由于k>4 所以0<4/k<1
故当sinα=4/k时，tsinα的最大值为32/k，所以32/k=4 即k=8
此时sinα=4/k=1/2，t=16-2×8×(1/2)=8
所以向量OC=(4,8)
向量OA乘以向量OC=(8,0).(4,8)=32