Question

微分和函数增量的区别

高数里面dy和Δy，dx和Δx有什么区别。
在dy = AΔx = Adx 里面，为什么Δx和dx相等。而dy却不等于Δy？不是说有微分形式不变性么？假设有dx=Bdt ，Δx=Bdt+a（x） ，a（x）是高阶无穷小。那么这个dx和Δx是不一样的啊。。
自己弄懂了。。。。
微分（d）是一个极限的概念。而增量（Δ）是一个确定的值。
当增量（Δ）取极限就成了微分了。
这就好比割线的割点极限到一起，割线就成了切线一样。。

Answer 1

微分和增量存在以下关系：

微分在数学中的定义：由函数B=f(A)，得到A、B两个数集，在A中当dx靠近自己时，函数在dx处的极限叫作函数在dx处的微分，微分的中心思想是无穷分割。微分是函数改变量的线性主要部分。微积分的基本概念之一。

增量则是指在某一段时间内系统中保有数量的变化。这三者之间的关系可用以下两个公式表示:增量=流入量-流出量；本期期末存量=上期期末存量+本期内增量。

增量是指数的变化值，即数值的变化方式和程度。增量本身也是一个数。数的变化有增加和减少两种情况。当数增加时，增量为正;当数减少时，增量为负。

增加或减少的越多，增量的绝对值就越大。如3增大到5，则3的增量为+2;3减少到1，则3的增量为-2。换句话说，增量就是变化后的数值与原数值的差。

增量是这点的函数自变量X增加△X,Y增加△Y.△Z=f(X1+△X,Y1+△Y)-f(X1,Y1）

且对△Z取极限等于0.那么△Z就是函数Z=f(X,Y)在点（X1,Y1）处的全增量。

也就是X,Y同时获得增量.而全微分是先对X求导,所得乘d(X),在对Y求导,所得乘d(Y),再把两个先加就是微分。

扩展资料

微分当自变量为固定值需要求出曲线上一点的斜率时，前人往往采用作图法，将该点的切线画出，以切线的斜率作为该点的斜率。然而，画出来的切线是有误差的，也就是说，以作图法得到的斜率并不是完全准确的斜率。

以y=x2 为例，我们需要求出该曲线在(3,9)上的斜率，当△x与△y的值越接近于0，过这两点直线的斜率就越接近所求的斜率m，当△x与△y的值变得无限接近于0时，直线的斜率就是点的斜率。

参考资料来源：百度百科-微分

Answer 2

增量是这点的函数自变量X增加△X,Y增加△Y.△Z=f(X1+△X,Y1+△Y)-f(X1,Y1）.且对△Z取极限等于0.那么△Z就是函数Z=f(X,Y)在点（X1,Y1）处的全增量.也就是X,Y同时获得增量.而全微分是先对X求导,所得乘d(X),在对Y求导,所得乘d(Y),再把两个先加就是微分.
【补充】：
在数学中，微分是对函数的局部变化的一种线性描述。微分可以近似地描述当函数自变量的变化量取值作足够小时，函数的值是怎样改变的。比如，x的变化量△x趋于0时，则记作微元dx。
在古典的微积分学中，微分被定义为变化量的线性部分，在现代的定义中，微分被定义为将自变量的改变量映射到变化量的线性部分的线性映射。这个映射也被称为切映射。给定的函数在一点的微分如果存在，就一定是唯一的。
【资料链接】：
http://baike.baidu.com/link?url=qeET7MaPUOg0HYl3xdJf8ulDHUFv2AqcY_-K4Ph1-9NlZ6agRxF0xItHIfdFh0s94K367nWhhRBmQP5NvE4aFq

Answer 3

关键你要确定哪个是自变量。
y=f(x), x 是自变量，y是因变量， Δx=dx， Δy=dy+o(Δx), dy=f'(x)dx,
函数的微分（dy）是函数增量（Δy）的主部，
二者相差一个Δx的高价无穷小。

你后例是 x=g(t), t 是自变量，x 是因变量， Δt=dt，
Δx=dx+o(Δt), dx=g'(t)dt,

追问

如果{x=g（t），y=q（t）} dy也可以写成dy=AΔx=Adx的吧？

追答

参数方程决定了 y=f(x), 故 dy=AΔx=Adx

追问

那不还是回到了为什么Δx等于dx的问题上了吗？

追答

x 若是作为自变量，本来就是 Δx=dx

追问

我觉得这个Δx和dx的关系跟他是不是自变量没关系吧。

追答

不要涉及符号，自变量的微分就是自变量的增量，
函数的微分就是函数增量的主部，相差一个高阶无穷小。
讨论这种问题，实在是没有多大意义。

Answer 4

dx没有物理意义的，他的长度是0，他只是个算子，是个符号。
Δx就是图像上两点处的横坐标之差。在Δx很小的情况下，可以用Δy/Δx=dy/dx=斜率来估算

在Δx很小的情况下，可以写成dy≈Δy=AΔx

追问

微分怎么没有物理意义，微分不是切线方向的增量吗？

追答

增量必须得两个点之间来说才有意义，一个点处哪里来的增量啊？？

可以这样估算，在Δx很小的情况下，可以写成Δy≈dy=AΔx
Δx大的情况下，要这样写Δy=dy+o(Δx)=AΔx+o(Δx)

这个o(Δx)其中包含二阶导数，三阶导数....所有阶导数的无限趋近

dx好像是有长度的，sorry，晕菜了，dx=Δx

追问

你把我搞糊涂了，dy和Δy的意义如图示。。

追答

是啊，我忘了这个图了，dy有长度，那么dx也是有长度的
我以为dy/dx是个极限的算子呢。好像是有意义的。不过知道这个也没啥呀，只要知道Δx很小的时候，可以用dy表征Δy就对了。
dx和Δx是一回事，只不过dx对应的是dy，Δx对应的是Δy而已。