Question

计算曲线积分I=∫Lx?yx2+y2dx+x+yx2+y2dy，其中L是从点A（-a，0）经过上半椭圆x2a2+y2b2=1（y≥0）到点（

计算曲线积分I=∫Lx?yx2+y2dx+x+yx2+y2dy，其中L是从点A（-a，0）经过上半椭圆x2a2+y2b2=1（y≥0）到点（a，0）的弧段，这里a＞0，b＞0．

Answer 1

由题意

?Q

?x

＝

?P

?y

=

y2?x2?2xy

(x2+y2)2

，
补充L₁：y=0（-a≤x≤-?），L2：x2+y2＝?2(y≥0)，其方向为从点A（-?，0）到点（?，0），L₃：y=0（-?≤x≤a）
其中?为充分小的正数，则由格林公式，得
I=

L1+L2+L3

=

∫

?? ?a

1

x

dx+

1

?2

L2

(x?y)dx+(x+y)dy+

∫

a ?

1

x

dx
=

1

?2

L2

(x?y)dx+(x+y)dy
=

∫

0 ?π

[(cosθ?sinθ)?(?sinθ)+(cosθ+sinθ)?cosθ]dθ
=

∫

0 ?π

dθ＝π