Question

如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长是2，侧棱长为4，M，N分别在AA1和CC1上，A1M=CN=1，P是BC中点．（1

如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长是2，侧棱长为4，M，N分别在AA1和CC1上，A1M=CN=1，P是BC中点．（1）求四面体A1-PMN的体积；（2）证明A1B∥平面PMN．

Answer 1

（1）解：取AC的中点O，由已知得BO⊥A₁MN，且BO=

3

，
∵P是BC中点，∴P到平面A₁MN的距离d=

1

2

BO＝

3

2

，
又S△A1MN=

1

2

×1×2=1，
∴VA1?PMN＝VP?A1MN=

1

3

S△A1MN×d=

1

3

×1×

3

2

＝

3

6

．
（2）证明：取CC₁的中点R，
∵P是BC的中点，N是RC的中点，∴PN∥BR，
又A₁M∥RN，A₁M=RN，
∴四边形A₁RNM是平行四边形，
从而A₁R∥MN，
又A₁R∩BR=R，∴平面A₁RB∥平面PMN，
又A₁B?平面A₁RB，∴A₁B∥平面PMN．