Question

已知直线y=x+b与抛物线y 2 =2px（p＞0）相交于A、B两点，若OA⊥OB，（O为坐标原点）且S △AOB =2

已知直线y=x+b与抛物线y 2 =2px（p＞0）相交于A、B两点，若OA⊥OB，（O为坐标原点）且S △AOB =2 5 ，求抛物线的方程．

Answer 1

设A（x 1 ，y 1 ）、B（x 2 ，y 2 ） 由 y=x+b y 2 =2px 得x 2 -2（p-b）x+b 2 =0 则x 1 +x 2 =2（p-b）， x 1 x 2 = b 2 所以y 1 +y 2 =2p，y 1 y 2 =2pb 又因为OA⊥OB， 所以 y 1 x 1 ? y 2 x 2 =-1 即 2pb b 2 = 2p b =-1 所以 p=- b 2 ，所以x 1 +x 2 =-3b，y 1 +y 2 =-b，y 1 y 2 =-b 2 又因为 S △OAB =2 5 ， |AB|= 10 b ，原点O到AB的距离 d= |b| 2 所以 1 2 |AB|d=2 5 得b=±2，所以p=±1， 又因为p＞0，所以p=1，y 2 =2x， 则抛物线的方程为y 2 =2x．