Question

一道数学题。急。已知实数a,b,c,d满足a+b=c+d且a^5+b^5=c^5+d^5求证a^2

一道数学题。急。已知实数a,b,c,d满足a+b=c+d且a^5+b^5=c^5+d^5求证a^2007+b^2007=c^2007+d^2007

Answer 1

设 M = a+b = c+d. M = 0 时候结论显然成立，所以只需再考虑M不等于零的情况。进一步，M小于零的情况可以转化为M大于零的情况：只要把a b c d分别换成-a, -b, -c, -d就可以了（也就是 原题目 里所有的等式的两边都同时乘以-1）。

因此我们只考虑M>0即可。

考虑函数 f(x) = x^5 + (M - x)^5。题目条件a^5+b^5=c^5+d^5 说明 f(a) = f(c)。

几何直观上，f(x) 很像抛物线，由于我们假设了M>0, 这条类似抛物线的曲线的开口方向朝上——这只是几何直观，下面用求导数的方面证明之:

考察函数f(x) 知道其导数f ' (x) = 5 x^4 - 5 (M - x)^4 = -5 M (M - 2 x) (M^2 - 2 M x + 2 x^2)
= -5 M(M - 2 x) [(M-x)^2 + x^2]。

也就是说，f的导数 f ' (x) = 0 当且仅当 x = M/2。M>0 => 当x > M/2 时 f ' (x) >0。也就是说函数f(x)在 [M/2, +∞) 上单调。同理f(x)在 (-∞,M/2] 也单调。这样我们就证明了前面的直观图像是对的。现在注意到f(x)关于 x =M/2 对称，所以f(a) = f(c) 意味着（1）a = c 或者（2） a+c = M （轴对称+对称轴两侧的单调性意味着只有这两种解）。

情况（1）：a = c, a+b = c+d => b = d, 所以a^2007+b^2007=c^2007+d^2007

情况（2）：a+c=M, a+b = c+d =M => b=c, a=d, 所以a^2007+b^2007=c^2007+d^2007
证明完毕。

Answer 2