Question

如图,在平面直角坐标系中,直线y=-x+3与x轴y轴分别交于点A，B，抛物线y=ax2+bx+c经过点A,B，且对称轴直线x

如图,在平面直角坐标系中,直线y=-x+3与x轴y轴分别交于点A，B，抛物线y=ax2+bx+c经过点A,B，且对称轴直线x=1与直线AB交于点M。有一动点P以每秒根号2个单位长度的速度从点B往终点A运动，过点P作直线PQ∥y轴交抛物线于点Q。设点P运动时间为t秒。（1）求抛物线解析式（2）当时间t取何值时，使得以点M，P，Q为顶点的三角形与△AOB相似？（3）将点Q作关于直线B的对称点Q’连结QA，QB，AQ‘，BQ’，是否存在时间t使得四边形BQAQ‘的面积有最大值？若存在，请求出时间t；若点Q’在△BOC内部（不包括边），则t的取值范围是 （直接写出）。

Answer 1

(1)直线y=3-x与坐标轴交点为A(3,0),B(0,3),和直线x=1交点为M(1,2)
设抛物线为y=a(x-1)²+k,把A,B坐标代入得a=-1,k=4
∴抛物线解析式为y=-(x-1)²+4=-x²+2x+3
(2)易证△AOB是等腰直角三角形,且∠MPQ=45°
当PQ⊥MQ时,△MPQ是等腰直角三角形,此时两个三角形相似
∵PQ⊥x轴,∴MQ∥x轴,∴令y=2,代入抛物线方程得x=1±√2
∵Q在第一象限,∴Q(√2+1,2)
∴P(√2+1,2-√2)
设直线PQ和x轴交於D,则PD=2-√2,∴PA=√2PD=2√2-2,t=PA/√2=2-√2(s)
当MQ⊥MP时,△MPQ是等腰直角三角形,此时两个三角形相似
延长QM交x轴於E,则∠QED=45°,∴E(-1,0),MQ方程为y=x+1
联立MQ和抛物线方程解得Q(2,3),∴P(2,1)
PD=1,PA=√2,t=1(s)
(3)作QH⊥AB於H,则S四边形BQAQ'=2S△ABQ=AB*QH=3√2*QH
设Q(x,-(x-1)²+4),则QH=|1*x+1*[-(x-1)²+4]-3|/√(1+1)=|3x-x²|/√2
S四边形BQAQ'=3|3x-x²|
∵0≤x≤3,∴3x-x²=x(3-x)≥0,∴四边形BQAQ'=3(3x-x)²=-3(x²-3x+9/4-9/4)=-3[(x-3/2)²-9/4]=-3(x-3/2)²+27/4,当x=3/2时ymax=27/4
此时P(3/2,3/2),t=PA/√2=√2PD/√2=PD=3/2(s)
Q(a,b)关於直线AB:y=3-x的对称点Q'(3-b,3-a)
C(-1,0),∴BC方程为y=3x+3
当Q'在△BCO内部时,满足x<0,y>0,y<3x+3
即3-b<0,3-a>0,3-a<3(3-b)+3,化简得a<3,b>3,3b-a<9
∵b=-a²+2a+3,∴解得3/5<a<2
把a的范围代入直线AB方程得1<y<12/5,即1<PD<12/5
t=PA/√2=√2PD/√2=PD,t的范围是1<t<12/5