Question

如图1，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，面ABCD为正方形，E为侧棱PD上一点，F为AB上一点．该四棱锥的正

如图1，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，面ABCD为正方形，E为侧棱PD上一点，F为AB上一点．该四棱锥的正（主）视图和侧（左）视图如图2所示．（Ⅰ）求四面体PBFC的体积；（Ⅱ）证明：AE∥平面PFC；（Ⅲ）证明：平面PFC⊥平面PCD．

Answer 1

（Ⅰ）解：由左视图可得 F为AB的中点，
∴△BFC的面积为 S＝

1

2

?1?2＝1．
∵PA⊥平面ABCD，
∴四面体PBFC的体积为VP?BFC＝

1

3

S△BFC?PA=

1

3

?1?2＝

2

3

．
（Ⅱ）证明：取PC中点Q，连接EQ，FQ．
由正（主）视图可得 E为PD的中点，
∴EQ∥CD，EQ＝

1

2

CD．
又∵AF∥CD，AF＝

1

2

CD，∴AF∥EQ，AF=EQ．
∴四边形AFQE为平行四边形，∴AE∥FQ．
∵AE?平面PFC，FQ?平面PFC，
∴直线AE∥平面PFC．
（Ⅲ）证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．
∵平面ABCD为正方形，∴AD⊥CD．
∴CD⊥平面PAD．
∵AE?平面PAD，∴CD⊥AE．
∵PA=AD，E为PD中点，∴AE⊥PD．
∴AE⊥平面PCD．
∵AE∥FQ，∴FQ⊥平面PCD．
∵FQ?平面PFC，∴平面PFC⊥平面PCD．