Question

已知函数f（x）=ln（x+a），g（x）=x2+x，若函数F（x）=f（x）-g（x）在x=0处取得极值．（1）求实数a的值

已知函数f（x）=ln（x+a），g（x）=x2+x，若函数F（x）=f（x）-g（x）在x=0处取得极值．（1）求实数a的值；（2）若关于x的方程F(x)+52x?m＝0在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数m的取值范围；（3）证明：对任意的自然数n，有ln(n+1n)＜2恒成立．

Answer 1

（1）由题意知，F（x）=ln（x+a）-x²-x，则F′(x)＝

1

x+a

?2x?1，
∵x=0时，F（x）取得极值，
∴F'（0）=0，
∴

1

0?a

?2×0?1＝0，解得a=1，
经检验a=1符合题意，
∴实数a的值为1．
（2）∵a=1，则F（x）=ln（x+1）-x²-x，
∵F(x)+

5

2

x?m＝0，
∴ln(x+1)?x2+

3

2

x?m＝0，
令h(x)＝ln(x+1)?x2+

3

2

x?m，
则F(x)+

5

2

x?m＝0在[0，2]上恰有两个不同的实数根等价于h（x）=0在[0，2]恰有两个不同的实数根，
∵h′(x)＝

1

x+1

?2x+

3

2

＝?

(4x+5)(x?1)

2(x+1)

，
∴当x∈（0，1）时，h'（x）＞0，于是h（x）在（0，1）上单调递增，当x∈（1，2）时，h'（x）＜0，于是h（x）在（1，2）上单调递减，
则根据题意，有

h(0)＝?b≤0 h(1)＝ln(1+1)?1+ 3 2 ?b＞0 h(2)＝ln(1+2)?4+3?b≤0

，即

m≥0 m＜ 1 2 +ln2 m≥?1+ln3

，
∴?1+ln3≤m＜

1

2

+ln2，
∴实数m的取值范围为?1+ln3≤m＜

1

2

+ln2．
（3）∵F（x）=ln（x+1）-x²-x，
∴F（x）的定义域为{x|x＞-1}，
∵F′(x)＝

?x(2x+3)

x+1

，
∴令F'（x）=0得，x=0，或x＝?

3

2

（舍去），
∴当-1＜x＜0时，F'（x）＞0，F（x）单调递增；当x＞0时，F'（x）＜0，F（x）单调递减，
∴F（0）为F（x）在（-1，+∞）上的最大值，
∴F（x）≤F（0），即n（x+1）-x²-x≤0（当且仅当x=0时，等号成立），
取x＝

1

n

＞0，n为任意正整数，
∴ln(

1

n

+1)＜

1

n2

+

1

n

，
令t＝

1

n

，则y=

1

n2

+

1

n

＝t2+t在[1，+∞）为增函数，
∴（t²+t）_min=2，即

1

n2

+

1

n

≤2恒成立，
∴ln(

n+1

n

)＜

1

n2

+

1

n

≤2，
∴对任意的自然数n，有ln(

n+1

n

)＜2恒成立．