Question

在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，且PA=AD=2，E，F分别为棱AD，PC中点。

1）求异面直线EF和PB所成的角的大小 （2）求证：平面PCE⊥平面PBC （3）求二面角E-PC-D的大小

Answer 1

1、 应补充N是PD的中点的条件，截面ABMN是平行四边形，M是PC的中点，MN‖AB，且MN=AB，MN是三角形PDC的中位线，MN‖CD，且MN=CD/2，∴AB‖MN。
2、 AB⊥PA（已知），AB⊥AD（已知），PA∩AD=A，AB⊥平面PAD，AB‖CD，MN‖CD，MN‖AB，MN⊥平面PAD，AN∈平面PAD，∴MN⊥AN。
3、 PA=PD，三角形PAD是等腰直角三角形，N是PD的中点，AN⊥PD，，又由前所述MN⊥AN，AN∩PD=N，AN⊥平面PDC，AN∈平面ABMN，∴平面ABMN⊥侧面PDC。
4、 设PA=AB=AD=a, V四棱锥P—ABCD=(a+2a)/2*a*a/3=a^3/2
四棱锥P—ABMN是由二三棱锥P-ANM和P-AMB组成，其体积=a^2/2*(1/2)*A*(1/3)*2=a^3/6
下半部体积为全部体积-上部体积=a^3/2-a^3/6=a^3/3
上、下两部分体积之比= （a^3/6）/ （a^3/3）=1：2