Question

过抛物线y^2=4x的焦点，作直线与抛物线的交于P,Q，求线段PQ中点的轨迹方程

Answer 1

设P(x1,y1),Q(x2,y2)，线段PQ中点M(x,y).
则y1²=4x1，y2²=4x2
两式相减得：(y1 +y2)( y1 -y2)=4(x1- x2)
因为y1 +y2=2y,
所以( y1 -y2)/(x1- x2)=4/(2y)=2/y.
又因PQ过焦点(1,0)，所以直线的斜率又可表示为y/(x-1).
∴2/y =y/(x-1).
y²=2(x-1).这就是线段PQ中点的轨迹方程。