Question

大一高数问题 无穷小量 与无穷大量 limf(x)

1，下列命题正确的是 D
（A）无穷小量是个绝对值很小很小的数 （B）无穷大量是个绝对值很大很大的数
（C）无穷小量的倒数是无穷大量 （D）无穷大量的倒数是无穷小量
2，下列命题肯定正确的是 A (x都是趋近于x0)
（A）若limf(x)存在, limg(x)不存在,则lim[f(x)+g(x)] 必不存在.
（B）limf(x)与 limg(x)不存在,则lim[f(x)+g(x)] 必不存在.
（C）若 limf(x)存在, limg(x)不存在,则lim[f(x)g(x)] 必不存在.
（D）若 limf(x)不存在,则 lim|f(x)| 必不存在.

3，极限为无穷大是否表示极限不存在？
4，根号（1+x)-根号（1-x)为什么与x为等价无穷小量，当x趋近于0

1,2,4请给出详细解答，最好来几个例子
无穷大量不是包括正无穷大和负无穷大吗？
无穷小量是指趋近于0的数，不是也包括正负无穷小量吗，那负无穷小量，应该是像-0.0000000.....1这种呀，他的倒数应该也是负无穷大呀，怎么会趋近0

Answer 1

1. D  显然A、B不正确；取f(x)≡0,则f(x)是无穷小量，但是其倒数却不存在，也不是无穷大量

2. A正确 反证法，假设结论不正确，则若limf(x)存在和lim[f(x)+g(x)]存在，则根据运算法则，lim[[f(x)+g(x)]-f(x)] 必存在,且等于limg(x).与已知矛盾。从而假设不正确，原结论为真。

B错误  取f(x)=1/x,g(x)=1-1/x,于是limf(x),limg(x)均不存在，但是lim(f(x)+g(x))=1（x趋近于0）

C错误  取f(x)=x,g(x)=sin(1/x)，于是limf(x)=0,limg(x)不存在，但是lin[f(x)g(x)]=0,无穷小乘以有界量还是无穷小.(x趋近于0)

D错误  分段函数：f(x)=1（当x>0）;f(x)=-1(当x<=0)，则x趋近于0时，limf(x)不存在，但是lim|f(x)|=1

3. 是的，一般我们说极限存在，指的是存在正常极限，不包括非正常极限。

4.如图