Question

设函数y=f(x)是定义在R上的函数，且f(x)>0,对于任意的实数x,y,都有f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时，f（x）>1.

(1).求f(0)的值;
(2).判断函数f(x)在的R单调性并用定义证明;
(3).若f(1)=2,解不等式f(x)·f(x+1)<4

Answer 1

此类题目一般采取 赋值法.
1.由于对于任意的实数x,y,都有f(x+y)=f(x)+f(y).所以对于x=0,y=0,这个等式也成立.代入,得到f(0)=f(0)+f(0).f(0)当然等于0.
2.设x,y是定义内的任意两个数,且X>Y.f(x)=f(x-y)+f(y)(相当于原来的X+Y用X来代替,X用X-Y代替)移项,f(x)-f(y)=f(x-y),因为X-Y为正数,所以根据题目条件知道f(x)-f(y)>0,所以他是定义上的单调递增函数.
3.同样的容易证明他是奇函数(还是赋值,令X=-Y.)另外一方面f(x+1)=f(x)+f(1)=f(x)+2.代进去解方程就可以了.