Question

如图，在三角形ABC中，已知角BCA=45度，AD垂直BC于点D，BD=3，求AD的长。

1、分别以AB、AC为对称轴，画出三角形ABD、三角形ACD的轴对称图形，点D的对称点为E、F，延长EB、FC相交于点G，证明：四边形AEGF是正方形：

2、设AD=X利用勾股定理，建立关于X的方程模型，求出X的值。
错了，应是BD=2，DC=3,，还有应是角BAC=45度，真是麻烦了

Answer 1

1.∠EAB=∠BAD，∠DAC=∠CAF
∠EAF=∠EAB+∠BAD+∠DAC+∠CAF=2(∠BAD+∠DAC)=2∠BAC=90°
AE=AD=AF
且∠AEB=∠AFC=90°
得四边形AEFG是正方形
2.AD=X，EB=2，FC=3
得AE=AF=GF=EG=X，GB=X-2，GC=X-3
因为△BGC是直角三角形
(X-2)^2+(X-3)^2=25，得
x=6或-1(舍去)

Answer 2

将三角形ABD以AB为轴翻折形成三角形ABP
将三角形ADC以AC为轴翻折形成三角形AMC
所以角PAM=2倍的角BAC=90度
AP=PD=AM，角P=角M=90度
延长MC,PB交于N
则角N=90度
所以APNM为矩形
又因为AM=AP
所以APNM为正方形
设正方形边长（即AD的长）为x
BN=NP-BP=x-2
CN=NM-CM=x-3
BC=BD+CD=5
在直角三角形BCN中，BN^2+CN^2=BC^2
所以有
(x-2)^2+(x-3)^2=25
2x^2-10x+13-25=0
x^2-5x-6=0
(x-6)(x+1)=0
x1=6,x2=-1
因为x大于0
所以x=6
所以AD=x=6