Question

第19题 高等数学

Answer 1

19. y = (x+1)^3 (x-1)^(-2),
y' = 3(x+1)^2 (x-1)^(-2) - 2(x+1)^3 (x-1)^(-3)
y'' = 6(x+1)(x-1)^(-2) - 12(x+1)^2(x-1)^(-3) + 6(x+1)^3(x-1)^(-4)
= 6[(x+1)/(x-1)^4] [(x-1)^2 - 2(x+1)(x-1) + (x+1)^2]
= 24[(x+1)/(x-1)^4]
当 x∈(-∞, -1) 时， y'' < 0, 曲线凸；
当 x∈(-1, 1)∪(1, +∞) 时， y'' > 0, 曲线凹。
lim<x→1> (x+1)^3 / (x-1)^2 = ∞, x = 1 是垂直渐近线。
设斜渐近线方程是 y = kx + b
则 k = lim<x→∞>y/x = lim<x→∞>(x+1)^3/[x(x-1)^2] = 1
b = lim<x→∞>(y - kx) = lim<x→∞>[(x+1)^3/(x-1)^2 - x] = 5
斜渐近线方程是 y = x + 5.