Question

设二次函数f(x)=ax^2+bx+c的图像过点(0,1)和(1,4)且对于任意实数x，不等式f（x）≥4x恒成立。

1.求函数f(x)的表达式
2.设g(x)=kx+1，若F(x)=log2[g(x)-f(x)]在区间[1,2]上是增函数，求实数k的取值范围

Answer 1

1.f(x)=ax²+bx+c过(0,1)和(1,4)代入
c=1
a+b+c=4
∴b=3-a
则f(x)=ax²+（3-a）x+1≥4x恒成立
即ax²-（a+1）x+1≥0
有a＞0且△=[-（a+1）]²-4a≤0即（a-1）≤0
∴a=1
则b=2
∴f(x)=x²+2x+1
2.F(x)=log2（kx+1-x²-2x-1）在区间[1,2]上是增函数，
即G（x）=kx+1-x²-2x-1=-x²+（k-2）x在区间[1,2]上是增函数
有对称轴x=（k-2）/2≥2
G(1)=k-3＞0
G(2)=2k-8＞0
解得k取值范围k≥6

Answer 2

1
c=1
a+b+1=4
a+b=3
a=3-b
ax^2+(b-4)x+1>=0
(b-4)^2-4a<=0
b^2-4b+4<=0
(b-2)^2<=0
b=2
a=1
f(x)=x^2+2x+1
f'(x)=2x+2
f'(2)=f'(max)=6
2
底数2>1
所以要为增
g(x)-f(x)为增
g(x)为增k>0
-f(x)为减
所以要使g(x)的增幅>-f(x)的降幅
k>6