Question

第8题怎么做

设f(x)在（-无穷，+无穷）内有连续导数，前存在常数a1，b1，a2，b2，
lim（x-无穷）（f（x）-（a1*x+b1）=0
lim（x-无穷）（f（x）-（a2*x+b2）=0
证明，对任意的c属于（a1，a2），存在k，使f’（k）=c

Answer 1

如果没有印刷错误的话本题是不成立的
因为很容易证明：a1=a2，b1=b2
这样一来(a1,a2)就是空集了
题目有两个错：
错误1是两个极限都是x→∞
应该有一个是x→-∞
错误2是对a1、a2不限定
应该要假定：a1<a2
做这两个改正了才是正确的

现在假定：
a1<a2
lim[x→-∞]（f（x）-（a1*x+b1）=0
lim[x→+∞]（f（x）-（a2*x+b2）=0
下面就证明给定c∈(a1,a2)
存在k使f'(k)=c

首先用洛必达法则很容易证明
lim[x→-∞]f'(x)=a1
根据极限定义
对于正数d=c-a1
存在a使得
当x<a时|f'(x)-a1|<d
即：f'(x)<a1+d=c
所以：c>=f'(a)
同理可以找到b使得
c<=f'(b)

于是：f'(a)<=c<=f'(b)
现在f(x)在[a,b}上满足达布定理的条件
结论就是f'(x)在[a,b]上可取f'(a)和f'(b)之间任何值
当然就存在k使得f'(k)=c了

追问

a1=a2?你是用f(x)/x求的?这个极限不一定存在啊

不管怎样还是谢谢，这是别人的题目，后来问了他答案

Answer 2

晚上再回答

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