Question

已知函数f(x)=(kx+1)/(x2+c) (c>0且c不等于1,k属于R) 求函数的极大值M和极小值m，和 M-m>=1的时候k的取值

已知函数f(x)=(kx+1)/(x2+c) (c>0且c不等于1,k属于R) 求函数的极大值M和极小值m，和 M-m>=1的时候k的取值范围

Answer 1

f(x)=(kx+1)/(x^2+c),
由f'(x)=0得
k(x^2+c)-2x(kx+1)=0,
kx^2+2x-ck=0,
k≠0时，x1=[-1+√(1+ck^2)]/k,
x2=[-1-√(1+ck^2)]/k.
f'(x)=-k(x-x1)(x-x2)/(x^2+c)^2,
k>0时
x......x2...x1...
f'(x).-...+....-
f(x)..↓..↑...↓
M=f(x1),m=f(x2);
k<0时
x......x1...x2...
f'(x).+...-....+
f(x)..↑..↓...↑
M=f(x1),m=f(x2)。
M-m>=1,
<==>f(x1)-f(x2)>=1,
<==>k√（1+ck^2)>=c,
<==>k>0,且k^2*(1+ck^2)>=c^2,
ck^4+k^2-c^2>=0,
k^2>=[-1+√（1+4c^3）]/(2c),
∴k>=√{[-1+√（1+4c^3）]/(2c)},为所求。

Answer 2

（2008•陕西）已知函数f(x)=kx+1x2+c（c＞0且c≠1，k∈R）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是x=-c．
（Ⅰ）求函数f（x）的另一个极值点；
（Ⅱ）求函数f（x）的极大值M和极小值m，并求M-m≥1时k的取值范围．
考点：利用导数研究函数的极值；函数在某点取得极值的条件．
专题：计算题；分类讨论．
分析：（Ⅰ）原函数恰有一个极大值点和一个极小值点就是导函数恰有两个不等实根，利用根与系数的关系求出另一根即可．
（Ⅱ）根据开口向上和向下两种情况分别找到M-m，再解M-m≥1即可．
解答：解：（Ⅰ）f′(x)=k(x2+c)-2x(kx+1)(x2+c)2=-kx2-2x+ck(x2+c)2，
由题意知f'（-c）=0，即得c2k-2c-ck=0，（*）
∵c≠0，∴k≠0．
由f'（x）=0得-kx2-2x+ck=0，
由韦达定理知另一个极值点为x=1（或x=c-2k）．
（Ⅱ）由（*）式得k=2c-1，即c=1+2k．
当c＞1时，k＞0；当0＜c＜1时，k＜-2．
（i）当k＞0时，f（x）在（-∞，-c）和（1，+∞）内是减函数，在（-c，1）内是增函数．
∴M=f(1)=k+1c+1=k2＞0，m=f(-c)=-kc+1c2+c=-k22(k+2)＜0，
由M-m=k2+k22(k+2)≥1及k＞0，解得k≥2．
（ii）当k＜-2时，f（x）在（-∞，-c）和（1，+∞）内是增函数，在（-c，1）内是减函数．
∴M=f(-c)=-k22(k+2)＞0，m=f(1)=k2＜0M-m=-k22(k+2)-k2=1-(k+1)2+1k+2≥1恒成立．
综上可知，所求k的取值范围为(-∞，-2)∪[2，+∞)．