Question

在等边△ABC中，P为AB上一点，Q为AC上一点，且AP=CQ,M为PQ中点，AM=19，求PC长

Answer 1

首先过M做MN‖AB,MN交AC于N,即MN为ΔAPQ的AP边中位线，2MN=AP=CQ
∠MNQ=∠BAC=60°∠ANM=120°又有∠BAC=∠ABC=60°
在三个三角形（ΔANM/ΔBCP/ΔAPC）中对应上面四个角分别使用余弦定理即可
为方便描述设：AP=QC=2MN=2a，BP=AQ=2AN=2NQ=2b,BC=AC=AB=AQ+QC=2(a+b),PC=x
cos∠ANM=cos120°=-1/2=(b^2+a^2-19^2)/2ab 一试
cos∠BAC=cos60°=1/2=(4(a+b)^2+4b^2-x^2)/8b(a+b) 二式
cos∠ABC=cos60°=1/2=(4(a+b)^2+4a^2-x^2)/8a(a+b) 三式
一试得出b^2+a^2+ab=19^2
二式和三式相加，代入一试的结果
化解后得x=PC=38