Question

高数求助大神

Answer 1

对ε>0，存在正数D=x0*[e^(ε|lna|)-1]，使对所有x满足0<x-x0<D，有
|log(a,x)-log(a,x0)|
=|log(a,x/x0)|
=|ln(x/x0)/lna|
=ln(x/x0)/|lna|
<ln[(D+x0)/x0]/|lna|

=ε|lna|/|lna|
=ε
所以lim(x->x0+)log(a,x)=log(a,x0)
同样地，对ε>0，存在正数D=x0*[1-e^(-ε|lna|)]，使对所有x满足0<x0-x<D，有
|log(a,x)-log(a,x0)|
=|log(a,x/x0)|
=|ln(x/x0)/lna|
=ln(x0/x)/|lna|
<ln[x0/(x0-D)]/|lna|

=ε|lna|/|lna|
=ε
所以lim(x->x0-)log(a,x)=log(a,x0)
综上所述，lim(x->x0)log(a,x)=log(a,x0)