Question

高数题，求过程

Answer 1

条件4x²+3y²-4xy-8=0变为
4x²+3y²-8=4xy.......①
(1)最小值
因为(2x+y)²≥0，当且仅当2x=-y时取等
所以4xy≥-4x²-y²
结合①得
4x²+3y²-8=4xy≥-4x²-y²
移项得
8x²+4y²≥8
当且仅当2x=-y时取等，即x=-1/√3，y=2/√3或者x=1/√3，y=-2/√3
所以u=8x²+4y²的最小值为8
(2)最大值
因为(x-y)²≥0，当且仅当x=y时取等
所以2xy≤x²+y²
结合①得
4x²+3y²-8=4xy≤2x²+2y²
移项得
2x²+y²≤8
故
8x²+4y²≤32
当且仅当x=y时取等，即x=y=2√(2/3)或者x=y=-2√(2/3)
所以u=8x²+4y²的最大值为32