Question

初三数学动点问题！

Answer 1

(1)∵RS是直角∠PRB的平分线，∴∠PRS＝∠BRS＝45°.
在△ABC与△SBR中，∠C＝∠BRS＝45°，∠B是公共角，
∴△ABC∽△SBR
(2)线段TS的长度与PA相等
∵四边形PTEF是正方形，
∴PF＝PT，∠SPT＋∠FPA＝180°－∠TPF＝90°,
在Rt△PFA中，∠PFA
＋∠FPA＝90°,
∴∠PFA＝∠TPS，
∴Rt△PAF≌Rt△TSP，∴PA＝TS.
当点P运动到使得T与R重合时，
这时△PFA与△TSP都是等腰直角三角形且底边相等，即有PA＝TS.
(3)由题意，RS是等腰Rt△PRB的底边PB上的高，
∴PS＝BS,
∴BS＋PS＋PA＝1,
∴PS＝(1-PA)/2
设PA的长为x，易知AF=PS，
则y＝PF^2＝PA^2＋PS^2,得y＝x^2＋((1-x)/2)^2,
即y＝5/4x^2-1/2x+1/4
根据二次函数的性质，当x＝1/5时，y有最小值为1/5
如图2，当点P运动使得T与R重合时，PA＝TS为最大.
易证等腰Rt△PAF≌等腰Rt△PSR≌等腰Rt△BSR，
∴PA＝1/3.
当P与A重合时，得x＝0.
∴x的取值范围是0≤x≤1/3
∴①当x的值由0增大到1/5时，y的值由1/4减小到1/5
∴②当x的值由1/5增大到1/3时，y的值由1/5增大到2/9
(说明：①②任做对一处评1分，两处全对也只评一分)
∵1/5≤2/9≤1/4，∴在点P的运动过程中，
正方形PTEF面积y的最小值是1/5，y的最大值是1/4