Question

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosA=2/3，sinB=（根号5)cosC

Answer 1

⑴∵cosA=2/3，∴sinA=√5/3
又sinB=sin(180
º-A-C)=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC
=√5/3cosC+2/3sinC=√5cosC
∴2/3sinC=2√5/3cosC
∴tanC=sinC/cosC=√5.
⑵过B作BD⊥AC于D，∵∠A,∠C均为锐角，∴BD在三角形内部。
∵tanC=BD/DC=√5，∴BD=√5DC.
由勾股定理有DC²+BD²=BC²
∴DC²+(√5DC)²=(√2)²,得DC=√3/3，∴BD=√15/3。
则sinC=BD/BC=√15/3√2
又BD/AD=tanA=sinA/cosA=√5/3
∴AD=BD/tanA=2√3/3,则AC=AD+DC=2√3/3+√3/3=√3
∴SΔ=
½·BC·AC·sinC=
½×√2×√3×√15/3√2=√5/2。

Answer 2

)
cosa=2/3,sina=√5/3,tana=√5/2
sinb=sin(π-a-c)=sin(a+c)=sinacosc+cosasinc=√5/3cosc+2/3sinc
由已知sinb=√5cosc
所以√5cosc=√5/3cosc+2/3sinc
等号两边同时除cosc得
√5=√5/3+2/3tanc
tanc=√5
(2)过b作ac垂线，垂足为d
tanc=√5,sinc=√5/√6,
cosc=1/√6
则cd=bc*cosc=1/√3,bd=bc*sinc=√5/√3
ad=bd/tana=2/√3
ac=ad+cd=√3
三角形abc的面积=1/2*ac*bd=1/2*√3*√5/√3=√5/2

Answer 3

(1)
同推荐答案
（2）由（1）可知
sinC=√5cosC
又已知
sinB=√5cosC
∴
sinC=
sinB
由正弦定理易知
b=c
①
又∵cosA=2/3
a=√2
②
由余弦定理可得
（b??+c??-a??）/2bc=2/3
③
由①②③解得
b??=3
∴三角形ABC的面积
S=1/2*bcsinA=1/2*b??*√5/3=√5/2