Question

微分方程相关，知道特解求通解和其方程

Answer 1

首先要说，你这个分类是有问题的，因为微分方程、线性方程只是两个完全不同的分类，可以是微分线性、微分非线性、线性、非线性。最好你带着教科书看比较好。
你提这个问题，应该知道线性方程长什么样子了吧？
x^n+a1x^(n-1)+a2x^(n-2)+…+a(n-1)x+an=0
这就是线性方程。右端等于0，说明它是齐次方程；右端不等于0，说明它是非齐次方程。
这是针对齐次方程、非齐次方程来说的。
那么微分方程类似，无非是左端x的k次方通通变成x关于t的k阶导数。
即x^(n)+a1*x^(n-1)+…+a(n-1)*x'+an*x=0
（x^(k)就是x的k阶导数）
同理，右端等于0，这是一个齐次微分方程，求出来的解就是通解x(t)；如果右端不等于0，而是一个f(t)，那么求出来的解就是一个满足右端是f(t)的特解x*(t)！！！
整个微分方程的解x=x(t)+x*(t)！！！

Answer 2

题目不奇怪，习惯死套例题就说明你学得还不活。
只要搞清楚几个概念：
(1)非齐次方程的两个特解之差，一定是对应齐次方程的特解。
那么Y1=y1-y3=e^(-x)，Y3=y2-y1=e^(-x)-e^(2x)就是对应齐次方程的两个特解。
(2)齐次方程的特解有线性性质，所以Y2=Y1-Y2=e^(2x)也是齐次方程的一个特解。
所以齐次方程的通解为C1*Y1+C1*Y2=C1*e^(-x)+C2*e^(2x).
说明特征根为
r1=-1，r2=2。特征方程为
r^2-r-2=0。
原齐次方程为
y''-y'-2y=0。
(3)非齐次方程的任一个特解减去齐次方程特解的线性组合，得到的函数仍然是非齐次方程的一个特解。
所以y3-(Y2-Y1)=x*e^x是非齐次方程的一个特解。
通解为y=C1*e^(-x)+C2*e^(2x)+x*e^x。
将y3=x*e^x代入y''-y'-2y=f(x)，可得f(x)=(1-2x)e^x。
所以原方程为y''-y'-2y=(1-2x)e^x。