Question

求方程的整数解:1/x+x=(1/y+y)(1/z+z)

Answer 1

不存在，
1/x+x=1/（y*z)+z/y+y/z+zy
由题目求的是整数解故x,y,z均为整数即1/x为分数，z/y和y/z至少有一个为分数
1.z/y为整数即z=n*y
则y/z为分数
得1/x=1/（y*z)+y/z
x=z/y+zy
得1/（n+ny^2)=1/ny^2+1/n
化简得
z=n*y
y^4+y^2+1=0
y^4>=0
y^2>=0
所以当z/y为整数时y^4+y^2+1必大于0所以不存在
2.y/z为整数时同1得不存在
3.z/y，y/z均为分数
得1/x=1/（y*z)+z/y+y/z
x=zy
得z/y+y/z=0即z/y=-y/z即z^2=-y^2得z=y=0
由题可知x*z*y不等于0故不成立
所以综上所述1/x+x=(1/y+y)(1/z+z无整数解

Answer 2

一个方程三个未知数
虽然三个因式的最小值都是2
但还是有好多种解的组合形式
比如y=1,z=1,x=2+（根号3）