Question

已知数列满足,且.()求证:数列是等差数列,并求通项;()若,且,求和;()比较...

已知数列满足,且. ()求证:数列是等差数列,并求通项; ()若,且,求和; ()比较与的大小,并予以证明.

Answer 1

()由,且,能够导出,由此能示出数列的通项公式.
()将代入可求得,所以,.再由错位相减法能求出.
(),于是确定与的大小关系等价于比较与的大小.由此利用数学归纳法能够得到:当,时,;当时,.
()证明:,
数列是首项为,公差为的等差数列,(分)
故
因为
所以数列的通项公式为.(分)
()解:将代入可求得,
所以(分)
(分)
由-得
(分)
()解:
于是确定与的大小关系等价于比较与的大小
当时,,,,
当时,,,,
当时,,
当时,,
可猜想当时,(分)
证明如下:
当时,由上验算显示成立,
假设时成立,即
则时
所以当时猜想也成立
综合可知,对一切的正整数,都有(分)
综上所述,当,时,,
当时,.(分)
本题考查数列和不等式的综合运用,考查运算求解能力,推理论证能力;考查函数与方程思想,化归与转化思想.综合性强,是高考的重点,易错点是知识体系不牢固.解题时要注意数学归纳法的灵活运用.