Question

数学定积分题目

设f(x)在[0,正无穷)上连续,且f(x)>0,证明函数F(x)=如图在(0,正无穷)内单调增加

Answer 1

你可以用一个公式，来自Riemann积分的原始定义（右边是某种Darboux和的极限）：
∫[a,b] f(x) dx=lim∑ f(a+(b-a)k/n)*(b-a)/n

第一个∫[0,1] 1/(1+x^2) dx：
其中a=0,b=1，所以积分值
=lim∑ f(k/n)/n
=lim∑ (1/[1+(k/n)^2])/n
=lim∑ n/(k^2+n^2)
=lim n/(1^2+n^2)+n/(2^2+n^2)+...+n/(n^2+n^2)，
即为所求；

第二个∫[0,1] 1/Sqrt(1+x) dx：
其中a=0,b=1，所以积分值
=lim∑ f(k/n)/n
=lim∑ (1/Sqrt[1+(k/n)])/n
=lim∑ 1/Sqrt(n^2+k*n)
=lim 1/Sqrt(n^2+1*n)+1/Sqrt(n^2+2*n)+...+1/Sqrt(n^2+n*n)，
所以题目错了，求和中每项分子应该是1而不是n
（按题中的表达式，当n->∞时求和中每一项都->1，n项之和肯定是无穷）
我可以帮助你，你先设置我最佳答案后，我百度Hii教你。

Answer 2

用变上限积分做