Question

常微分方程的常见题型与解法

Answer 1

由于题型种类与解题方法的多样性，此处的分类比较混乱。部分按方程的类型分类（如线性、非线性，齐次、非齐次），部分按解法分类（如可分离变量，可降阶），还有按其特定命名分类（如伯努利方程和欧拉方程）。

因此，需要特别说明的是，同一分支下的不同类别并不是严格互斥的。比如说：齐次方程，线性微分方程以及非线性微分方程处于同一级分支。但这并不意味着齐次方程既不是线性微分方程，也不是非线性微分方程。

如果我们依照阶数、常系数与变系数、齐次与非齐次、线性与非线性来进行分类。确实会让分类更为严谨，判断题型类别时候更加得心应手，但这有时候并不会让你更快的想到解题方法。比如说： 方程 ，按方程类型分类，应为 一阶变系数非齐次非线性方程 。这样描述你可能并不知道应该怎么求解，但是如果说它是可分离变量的微分方程，你马上就知道应该怎么做了。

可分离变量的微分方程 是指可化为 形式的微分方程，两边同时积分便可以求得结果。

如果一阶微分方程可化为 的形式，那么就称为 齐次方程 。

齐次方程的一个重要特征是，每一项关于x、y的次数和是相等的。如 、 、 都是二次项， 、 、 都可以看做一次项。因此，方程 可以用求解齐次方程的方法进行求解。

值得注意的是 与 一个没有负号，一个有负号。

高阶微分方程 是指二阶及二阶以上的微分方程。

容易注意到，可降阶的微分方程中缺少了部分元素。 型微分方程缺少了 、 、 、 。 型的微分方程缺少了 。 型的微分方程缺少了 。也因此。后两种类型的微分方程在令 后，一个继续求对 的导数，另一个则变为了求对 的导数。

形如 ，同时 均为常数的方程叫 常系数齐次线性微分方程 。

形如 ，同时 均为常数的方程叫 常系数非齐次线性微分方程 。

当 为一般类型的时候，可以使用常数变易法对其进行求解。如 便可以使用常数变易法对其求解。

注意，对于常系数线性微分方程组的一般题型，使用微分算子结合行列式解题比较容易。

对于常规的题型来说，先判断其方程形式，然后按部就班的使用相应的解法即可得到结果。因此，需要对各个类型的求解方式了然于胸，没有什么捷径可走。