Question

极值点的定义是什么？

Answer 1

极值是一个函数的极大值或极小值。如果一个函数在一点的一个邻域内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大（小），这函数在该点处的值就是一个极大（小）值。如果它比邻域内其他各点处的函数值都大（小），它就是一个严格极大（小）。该点就相应地称为一个极值点或严格极值点。

计算方法：

(1）单变量函数的极值求法。

a.求导数f'(x)。

b.求方程f '(x)=0的根。

c.检查f'(x)在函数图象左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值﹔如果左负右正，那么f (x)在这个根处取得极小值。

特别注意:f '(x)无意义的点也要讨论，即可先求出f '(x)=0的根和f'(x)无意义的点，这些点都称为可疑点，再用定义去判断。例如: f (x)=x|在x =0的导数是不存在的。

(2）二阶连续偏导数的函数z = f(x,y)的极值求法，叙述如下:

a.解方程组f痂(x,y)=0， f，(x,y)=0，求得一切实数解，即可求得一切驻点。

b.对于每一个驻点(xo,yo)，求出二阶偏导数的值A,B,C3。

c.定出AC-B2的符号，判定f(xo,yo)是否是极值，是极大值还是极小值。

注意:当函数仅在区域D内的某些孤立点(x ,y)不可导时，这些点不是函数的驻点，但这种点有可能是函数的极值点，要注意另行讨论。