Question

sinωx当x→0时，ωx应该趋近于0那么函数极限应该为0，但为什么函数极限为ω啊？

Answer 1

问：sinωx当x→0时，ωx应该趋近于0那么函数极限应该为0，但为什么函数极限为ω啊？

答：当 $x$ 趋近于 0 时，$\sin(\omega x)$ 的极限确实是 0，而不是 $\omega$。 你可能对极限的理解有些混淆。当 $x$ 趋近于 0 时，$\sin(\omega x)$ 的极限为 0 是因为 $\sin$ 函数在 $x$ 趋近于 0 时的极限是 0。无论 $\omega$ 是多少，只要 $x$ 趋近于 0，$\sin(\omega x)$ 的值都会趋近于 0。 如果你认为函数极限为 $\omega$，可能是你在计算 $\sin(\omega x)$ 的极限时，将 $\omega$ 看作是常数。在这种情况下，当 $x$ 趋近于 0 时，$\sin(\omega x)$ 的极限确实是 $\omega$。 但是，在这种情况下，$\omega$ 不是一个固定的值，而是一个常数。所以，当 $x$ 趋近于 0 时，$\sin(\omega x)$ 的极限是 0，而不是 $\omega$。

问：抱歉我写错了，题目是sinωx/x

问：这种情况是为什么

问：sinωx/x这种情况为什么函数极限是ω

问：？？

答：亲，你好！ 这是因为当x趋向于0时，sin(ωx)/x的极限是ω。这可以通过泰勒级数展开来证明。 根据泰勒级数展开，sin(x)可以近似表示为 x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+... 当x趋向于0时，高阶项的影响逐渐减小，因此我们可以忽略它们。 将sin(ωx)展开为 ωx-ω^3x^3/3!+ω^5x^5/5!-ω^7x^7/7!+... 然后除以x得到 ω-ω^3x^2/3!+ω^5x^4/5!-ω^7x^6/7!+... 当x趋向于0时，除了第一项ω以外，其他项都趋向于0，所以sin(ωx)/x的极限是ω。