Question

关于求基础解系 通解过程中“取值”的一些疑问

书上写的：
系数矩阵实行初等变换后得：
1 0 1/2 -1/2
0 1 1/2 3/2
0 0 0 0
所以：
X1=-1/2*X3+1/2*X4
X2=-1/2*X3-2/3*X4

取（X3,X4）为（1，0）和（0，1），由此得基础解系为：
η1=。。。。。
η2=。。。。。

所以通解为：
η=k1*η1+k2*η2.

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请问为什么会取（1，0）和（0，1）？我取其他的不行吗？

Answer 1

首先解系含有3-R(A)=2个自由解向量，方程为x1+x2-x3=0

不妨设自由向量为x1,x2,令x1=1,x2=0，解得x3=1

令x1=0,x2=1，解得x3=1

所以A的基础解系为（1 0 1)^t 和（0 1 1）^t

或：

n-r(A)=3-2=1

所以解空间是一维

随便选x3做自由变量

令x3=1，于是x1=-1，x2=-2

于是得到一个解(-1,-2,1)

扩展资料：

先求出齐次或非齐次线性方程组的一般解，即先求出用自由未知量表示独立未知量的一般解的形式，然后将此一般解改写成向量线性组合的形式，则以自由未知量为组合系数的解向量均为基础解系的解向量。由此易知，齐次线性方程组中含几个自由未知量，其基础解系就含几个解向量。

（1）这组向量是该方程组的解；

（2）这组向量必须是线性无关组，即基础解系各向量线性无关；

（3）方程组的任意解均可由基础解系线性表出，即方程组的所有解都可以用基础解系的量来表示。

参考资料来源：百度百科-基础解系

Answer 2

答案见图中，希望能看懂