Question

有没有人能救我哇~~~证明一收敛无穷级数

如果b是一收敛无穷级数∑1/k^2的极限，证明：
谁能救救我，给我个思路，无从下笔了~~~~
我的想法是∑1/k^2不是趋0的嘛，那b不就是0啦，但这样肯定是错的。。

Answer 1

1/k^2 ---> 0 但这个和式是越来越大，怎么会趋于0呢？

下面的推导中 如果看不清怎么出来的，你不妨再多写几项
1.
b = 1+1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + ...
= (1 + 1/3^2 + ...) + (1/2^2 + 1/4^2 + ...)
= (1 + 1/3^2 + ...) + 1/4 * (1 + 1/2^2 + ...)
= (1 + 1/3^2 + ...) + 1/4 * b
===> 1 + 1/3^2 + .. = b -b/4 = 3/4 * b
2.
3b/4 = 1 + 1/3^2 + 1/5^2 + 1/7^2 + 1/9^2 + ...
= (1 + 1/5^2 + 1/7^2 + ...) + (1/3^2 + 1/9^2 + ...)
= (1 + 1/5^2 + 1/7^2 + ...) + 1/9 * (1 + 1/3^2 + ...)
= (1 + 1/5^2 + 1/7^2 + ...) + 1/9 * 3b/4
===> 1 + 1/5^2 + 1/7^2 + ... = 3b/4 - b/12 = 2b/3
3.
1-1/2^2 - 1/4^2 + 1/5^2 + 1/7^2 - 。。。
= (1+ 1/5^2 + 1/7^2 + 。。。) - （1/2^2 + 1/4^2 + 1/8^2 + 1/10^2 + 1/14^2 + ...）
= 2b/3 - (1/2^2 + 1/4^2 + 1/6^2 + 1/8^2 + 1/10^2 + 1/12^2 + 1/14^2 + ...) + (1/6^2 + 1/12^2 + ...)
= 2b/3 - 1/4 (1 + 1/2^2 + 1/3^2 + ...) + 1/36 (1 + 1/2^2 + ..)
= 2b/3 - 1/4 * b + 1/36 * b
= 4b/9