Question

已知函数f(x)=3^x+1/(3^x) 利用单调性的定义证明在(0,正无穷)上是增函数)

Answer 1

证明：

函数f(x)=3^x+1/(3^x)定义域为R
任取x1,x2∈(0,+∞)，且x1>x2>0，则
f(x1)-f(x2)
=3^(x1)+1/[3^(x1)]-3^(x2)-1/[3^(x2)]
=[3^(x1)-3^(x2)]+[3^(x2)-3^(x1)]/3^(x1+x2)
=[3^(x1)-3^(x2)]*[1-1/3^(x1+x2)]
=[3^(x1)-3^(x2)]*{[3^(x1+x2)-1]/3^(x1+x2)}
∵x1>x2>0
∴x1+x2>0
∴3^(x1)-3^(x2)>0
3^(x1+x2)-1>0
3^(x1+x2)>0
∴f(x1)-f(x2)>0
f(x1)>f(x2)
根据单调性的定义知，f(x)在(0,+∞)上是增函数

证毕