Question

概率论数字特征与特征函数问题

若x1, x2,x3,x4,x5…..xn为正的独立随机变量,服从相同的分布,密度函数为f(x),证明:
E((x1+x2+x3+x4+x5+?..+..xk)/(x1+x2+x3+x4+x5+?..+..xn))=k/n
cosmist的"令y_j = x_j / (x_1+x_2+...+x_n)，
那么任何y_i和y_j独立同分布"为什么y_i和y_j独立同分布?

Answer 1

首先，E((x1+x2+x3+x4+x5+..+..xk)/(x1+x2+x3+x4+x5+..+..xn))=E(x1+x2+x3+x4+x5+..+..xk)*E(1/(x1+x2+x3+x4+x5+..+..xn))，因为(x1+x2+x3+x4+x5+..+..xk)与(1/(x1+x2+x3+x4+x5+..+..xn))两个随机变量相互独立；另外，又因为x1, x2,x3,x4,x5…..xn为正的独立随机变量,服从相同的分布，故有：E(x1)=E(x2)=……E(xn)，故可设E(x1+x2+x3+x4+x5+..+..xk)=k*E(x1)；另一方面，E(1)=E((x1+x2+x3+x4+x5+..+..xn)*(1/(x1+x2+x3+x4+x5+..+..xn)))=1=E(1/(x1+x2+x3+x4+x5+..+..xn))*E(x1+x2+x3+x4+x5+..+..xn)，（因为显然(1/(x1+x2+x3+x4+x5+..+..xn))与(x1+x2+x3+x4+x5+..+..xn）相互独立），所以E(1/(x1+x2+x3+x4+x5+..+..xn))=1/E(x1+x2+x3+x4+x5+..+..xn)；同理应有E(x1+x2+x3+x4+x5+..+..xn)=n*E(x1)；所以原式=k*E(x1)*(1/(n*E(x1)))=k/n。证毕。

Answer 2

令y_j = x_j / (x_1+x_2+...+x_n)，
那么任何y_i和y_j独立同分布。所有y_i之和的期望是1，那么每一个的期望是1/n，然后再把y_1到y_k加起来就行了。

Answer 3

呵呵~~等我翻到大学再回答你的问题吧！现在，小朋友莪还不懂。。。。同志们还需努力！加油...

Answer 4

因为本题的样本独立并且都服从同一个分布
所以有x1+x2+x3+x4+x5+?..+..xk=kx一拔 （x 一拔就是样本平均数）
x1+x2+x3+x4+x5+?..+..xn=nx一拔
E((x1+x2+x3+x4+x5+?..+..xk)/(x1+x2+x3+x4+x5+?..+..xn))=E（kx一拔/nx一拔）
=k/nE(1)=k/n
楼主这样就可以证明出来了 大学统计的内容
望采纳
问过老师可以这样做的