如图,在△ABC中,AE平分∠BAC,BE⊥AE,∠ABE=2∠C,求证:AC-AB=2BE
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证:延长BE到AC,设交点为D。
三角形AEB和三角形AED:∠BAE=∠DAE,AE=AE,∠AEB=∠AED=90度
因此这两个三角形全等,则有:BE=DE,AB=AD,∠ABE=∠ADE=2∠C,
又因为∠ADE=∠C+∠DBC=2∠C,所以:∠DBC=∠C,则三角形BDC为等腰三角形,BD=DC。
因为BD=BE+DE=2BE,DC=AC-AD=AC-AB,所以AC-AB=2BE。得证
三角形AEB和三角形AED:∠BAE=∠DAE,AE=AE,∠AEB=∠AED=90度
因此这两个三角形全等,则有:BE=DE,AB=AD,∠ABE=∠ADE=2∠C,
又因为∠ADE=∠C+∠DBC=2∠C,所以:∠DBC=∠C,则三角形BDC为等腰三角形,BD=DC。
因为BD=BE+DE=2BE,DC=AC-AD=AC-AB,所以AC-AB=2BE。得证
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