Question

急求高手解下高中数学题

如图所示，已知圆C：(x＋1)2＋y2＝8，定点A(1，0)，M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足AM向量＝2AP向量，NP向量⊥AM向量，点N的轨迹为曲线E．(1)求曲线E的方程；(2)若过定点F(0，2)的直线l交曲线E于不同的两点G、H(点G在点F、H之间)，且满足FG向量=nFH向量，求n的取值范围.

Answer 1

解：（1）由题意，点N的轨迹为椭圆，以A(1，0），C(-1,0)为焦点的椭圆
∴c=1
∵AM向量＝2AP向量
∴P是AM的中点，又NP向量⊥AM向量
∴|NA|=|NM|,|NC|+|NM|=2√2（定值）=|NC|+|NA|
椭圆方程中2a=2√2,a=√2
∴b=1
∴椭圆的方程为x^²/2+y^²=1，即曲线E的方程为x^²/2+y^²=1
（2）当直线与椭圆相切时n最大，此时n=1,即FG向量=FH向量；
当直线为y轴时n最小，此时|FG|=1,|FH|=3,n=1/3
∴n的取值范围是[1/3,1].