Question

如图，RT三角形ABC中，角ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于D，过点D的切线交BC于点E，（1）求证，DE=二分之

BC;(2)若tan角C=二分之根5，DE=2，求AD的长

Answer 1

连接BD
AB是直径，D在圆上
所以角BDC=90度
所以三角形ABC相似于三角形BDC
所以AB：BC=BD:DC
因为DE=BC/2=2
所以BC=4
tan角C=BD：DC=二分之根5
所以有AB=二分之根5*4=2根号5
又角ABD=角C
所以tanABD=AD：BD=二分之根5
所以AD=2根5BD
设BD=x，有AD=二分之根号5x
有x平方+二分之根号5x平方=2根号5x平方
所以x=4根号5/3
所以AD=二分之根号5x*4根号5/3=10/3

Answer 2

（1）连OE，依题意，OB=OD，OE=OE，RT三角形OBE全等于RT三角形OED，所以BE=DE，角BOE=角EOD。依题意，圆周角BAD=二分之一圆心角，所以，角BAC=角BOE，所以OE平行AC，又AO=BO所以OE是三角形ABC的中位线，所以BE=EC,因此DE=二分之一BC。
（2）因为tan角C=二分之根5，所以，AB/BC=二分之根5,又DE=2,则BC=4，那么AB=BCX√5/2=2√5，在RT△ABC中，AC=√（AB)^2+(BC）^2=√20+16=6。过O作OF垂直于AD，那么在等腰三角形OAD中，AF=DF。在RT△ABC和RT△AOF中，COSA=AB/AC=AF/AO, AF=（AB×AO）/AC=（2√5×√5）/6=5/3，所以，AD=2AF=10/3