Question

关于立体几何的问题~谢谢大家了！

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC。过BD作于PA平行的平面，叫侧棱PC于点E，又作DF⊥PB，交PB于点F。

（1）证明：点E是PC的中点

（2）证明：PB⊥平面EFD

Answer 1

以D为原点，向量DA方向为想X轴正方向，向量DC方向为Y轴正方向，向量DP方向为Z轴正方向，建立空间直角坐标系D-XYZ
因为 E在面PDC上
所以 E的横坐标为0
E做DC，PD的垂线，易得两垂线的长度加起来为PD的长
设 PD的长为1，E（0，y，1-y），面EDB的法向量向量n=（x1,y1,z1）
因为 向量n垂直于向量DE与向量DB
所以 x1= -y1 z1=(y/(1-y))*y1
当x1=1时，向量n=（1，-1，（y/(1-y)) )
因为 向量AP与面DBE平行，所以有
1=y/(1-y)
所以 y=1/2
即E（0，1/2，1/2）
所以E为CP的中点
（2）向量BP=（1，1，-1）向量DE=（0，1/2，1/2）
因为 向量BP与向量DE的数量积等于0
所以 向量BP垂直于向量DE
又因为 向量BP垂直于向量DF
所以BP垂直于面DEF

唔~这个是高二的向量做法，希望您能够接受啦O(∩_∩)O

如果是高一的话......
连接AC交BD于点O
OE为面DEB与面APC的交线
因为 PA平行于面DBE
所以 PA平行于OE（两面相交，一面内一直线平行于另一平面也平行于交线）
因为 O为AC中点
所以 E为PC中点（中位线）
（2）因为BC垂直于DC与PD
所以BC垂直于面PDC
所以BC垂直于PC
说以PB在面PCD上的射影为PC
因为DE垂直于PC
所以DE垂直于PB
所以PB垂直于面DEF

这个我昨晚刚给别人做过.......明明是一道题的，囧

Answer 2

你的图有问题，画对了不难证明

Answer 3

方法一；1.设ac bd 交于点o。过o作oe//ap。因为abcd为正方形，所以o为ac中点。所以oe为为△acp中位线。故e为pc中点。
2.pd垂直于面abcd 故面pdc垂直于abcd 交线为cd 且bc垂直于交线cd 所以cb垂直于pcd。所以cb垂直于de。又因为三角形pcd为等腰直角三角形。所以de垂直于pc。所以de垂直于面pcb 所以de垂直于pb。又因为pb垂直于df 。且de交df于d。所以PB⊥平面EFD

方法二就用建系。pd为z轴
dc为y轴。da为x轴、

方法三用基底也可以。但向量必须很熟练。

Answer 4

方法一；1.设ac bd 交于点o。过o作oe//ap。因为abcd为正方形，所以o为ac中点。所以oe为为△acp中位线。故e为pc中点。
2.pd垂直于面abcd 故面pdc垂直于abcd 交线为cd 且bc垂直于交线cd 所以cb垂直于pcd。所以cb垂直于de。又因为三角形pcd为等腰直角三角形。所以de垂直于pc。所以de垂直于面pcb 所以de垂直于pb。又因为pb垂直于df 。且de交df于d。所以PB⊥平面EFD

方法二就用建系。pd为z轴
dc为y轴。da为x轴、

Answer 5

这是我画的标准的图。其中红线是辅助线。图画好了，相信问题也迎忍而解了。