Question

实数x,y满足x^2+y^2=1,求(x+y+2)/(x-y+2)的最值？

Answer 1

(x+y+2)/(x-y+2)=(x-y+2+2y)/(x-y+2)=1-[2y/(x-y+2)]分式上下同除2
得1-{2/[(x+2)/y-1]}
另x^2+y^2=1 (x,y)是以1为半径，原点为圆心的圆的轨迹
则上式中(x+2)/y=[x-(-2)]/(y-0)为圆上的点轨迹到(-2,0)点的直线斜率的倒数
设k=y/(x+2) 设经过点(-2,0)且切于圆的直线为y=kx+b，则有-2k+b=0
将y=kx+b代入x^2+y^2=1
得(k^2+1)x^2+2kbx+b^2-1=0
切于圆，有一个交点，则△=0
即k^2-b^2+1=0
将-2k+b=0代入上式
可得k=±√3/3
则1/k=±√3
将上值代入原式得最大值为1+2/(√3+1)最小值为1-2/(√3-1)
可以继续化简的，楼主自己搞下吧

Answer 2

小=2-√3.大=2+√3.

Answer 3

解设x=cosa,y=sina
z=(x+y+2)/(x-y+2)=(cosa-sina+2)/(cosa-sina+2)
(1-z)cosa+(1+z)sina=2y-2
√[(1-z)^2+(1+z)^2]sin(a+r)=2y-2
sin(a+r)=(2y-2)/√[(1-z)^2+(1+z)^2]≤1
z^2-8z+1≤0
-√15≤z-4≤√15
-√15+4≤z≤√15+4
即-√15+4≤(x+y+2)/(x-y+2)≤√15+4

Answer 4

设x+y=u,x-y=v
则x^2+y^2=(u^2+v^2)/2
所以u^2+v^2=2
原式=(u+2)/(v+2)的最值问题
再设u+2=s,v+2=t
所以(s-2)^2+(t-2)^2=2
即求s/t的最值问题
在s-t的坐标系中，满足的方程是以(2,2)为圆心，根2为半径的圆
要求的是这个圆上的点和圆心连线的斜率取值范围。
设s=kt
利用圆心到切线距离等于半径，求得2个k值就是最值