Question

第三题用的是常微分方程，应该怎么做啊

Answer 1

f(x)=x^n,是一解。
令x=y，f（x²）=[f(x)]²
令x=1，f(y)=f(1)f(y),f(1)=1
令y=1/x，f(1)=f(x)f(1/x)

追问

后面的过程呢？

追答

f（x）=1可导，是一解
f（x）=1,f（x
y）=1,1=f（xy）=f（x）f（y）=1×1=1
设f（x）满足题意，
g（x）=x^nf（x）也是一解:
g'（x）=nx^（n-1）f（x）十x^nf'（x），可导。
g（xy）=（xy）^nf（xy）
=x^ny^nf（x）f（y）
=[x^nf（x）][y^nf（y）]
=g（x）g（y）
取最初的f（x）=1
得g（x）=x^n

另外，f（x）=0,也是一解，但不能扩展。

n可以是任何实数。

结论:f（x）=0,或者f（x）=1,f（x）=x^n