Question

用洛必达法则求lim(x→π/2)tanx/tan3x

用洛必达法则求lim(x→π/2)tanx/tan3x为什么可以用洛必达？上下趋于π/2不是都不可导吗？用了洛必达后最后一步上下的未知数x全约掉了，为什么可以这样？不是应该要把π/2代入的吗

Answer 1

lim(x→π/2)tanx/tan3x=3。

解答过程如下：

tanx/tan3x

=(sinx/sin3x)(cos3x/cosx)

=(sinx/sin3x)[-sin(3π/2-3x)/sin(π/2-x)]

当x→π/2时，sin(3π/2-3x)与3π/2-3x是等价无穷小，sin(π/2-x)与π/2-x是等价无穷小，而(sinx/sin3x)→1/(-1)=-1

所以原式=lim(3π/2-3x)/(π/2-x)=lim(-3)/(-1)=3

扩展资料：

在运用洛必达法则之前，首先要完成两项任务：

一是分子分母的极限是否都等于零(或者无穷大)；

二是分子分母在限定的区域内是否分别可导。

如果这两个条件都满足，接着求导并判断求导之后的极限是否存在：如果存在，直接得到答案；如果不存在，则说明此种未定式不可用洛必达法则来解决；如果不确定，即结果仍然为未定式，再在验证的基础上继续使用洛必达法则 。

洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等。

Answer 2

详细步骤在图片上

追问

答案错了

Answer 3

直接用洛必达法则，答案如图所示

Answer 4

：lim(x->π/2) (tanx/tan3x) (∞/∞) =lim(x->π/2) (secx)^2/[ 3(sec3x)^2] =lim(x->π/2) (cos3x)^2/[ 3(cosx)^2 ] (0/0) =lim(x->π/2) -3sin6x/( -3sin2x) =lim(x->π/2) sin6x/sin2x (0/0) =lim(x->π/2) 6cos6x/(2cos2x) =-6/(-2) =3

追问

第三个等于号怎么转化的

哦明白了

Answer 5

达法则求lim(x→π/2)tanx/tan3x
用洛必达法则求lim(x→π/2)tanx/tan3x为什么可以用洛必达？上下趋于π/2不是都不可导吗？用了洛必达后最后一步上下的未知数x全约掉了，为什么可以这样？不是应该要把π/2代入的吗
展开