Question

已知直线L过点P(2,1),且与X轴,Y轴的正半轴分别交于A,B两点，O为坐标原点，AB最小时直线方程

Answer 1

解法1.设此直线方程为x/a+y/b=1，（a，b都是正数）
直线过p(2,1)，2/a+1/b=1，得b=a/（a-2），a≠2，
设t=│OA││OB│=a*b=a*a/（a-2），即t=a²/（a-2），
因为a≠2，所以a²-ta+2t=0，a是实数，
⊿=t²-8t≥0，因为t＞0，可得S≥8.
即t的最小值是8，
此时有a=4，b=2，
直线L方程为x/4+y/2=1，即x+2y-4=0.

解法2.设此直线方程为 y-1=k(x-2），k＜0.
得A（（2k-1）/k，0），B（0，-（2k-1）），
t=│OA││OB│=| （2k-1）/k*【-（2k-1）】|
=| （4k²+1-4k）/k|
=| 4k+1/k-4|，
因为k＜0，-4k-1/k＞0，
由均值不等式，-4k-1/k≥2√（-4k）（-1/k）=4，
4k+/k-4≤ -8，t≤ |-8|=8，
当且仅当-4k=-1/k，即k=-1/2 （k＜0）时t有最小值8.
故直线方程为 y-1=-1/2(x-2），
即x+2y-4=0.