Question

高数证明题，求解

高数证明题，求解设函数f(x)的定义域为(-l,l),证明必存在(-l,l)上的偶函数及奇函数h(x),使得f(x)=g(x)+h(x).
书上证明过程：假若g(x)、h(x)存在,使得f(x)=g(x)+h(x),（1）,
且g(-x)=g(x),h(-x)=-h(x)
于是有f(-x)=g(-x)+h(-x)=g(x)-h(x),（2）
利用(1)、（2）式,可以做出g(x)和h(x),这个启发我们做如下证明：
g(x)=[f(x)+f(-x)]/2
h(x)=[f(x)-f(-x)]/2
则 g(x)+h(x)=f(x),
g(-x)=[f(-x)+f(x)]/2=g(x),
h(-x)=[f(-x)-f(x)]/2=h(x).
证毕.

这个是书上的证明过程。
我的疑问在于这道题既然是先通过假设证明f(x)=g(x)+h(x)成立，然后反推g（x）和h（x）的奇偶性。但是在得出f(-x)=g(-x)+h(-x)=g(x)-h(x)的时候已经用到了奇偶性。用奇偶性反推奇偶性，不是矛盾吗？

Answer 1

那个假设里g和h，一开始只是普通函数，最后才启发得到他们的奇偶性。
如任意函数f=f+0
g=f，h=0
请采纳

追问

如果是普通函数的话，f(-x)=g(-x)+h(-x)=g(x)-h(x),是怎么得到的？

是因为某个定理推出来的吗？

追答

一开始假设只是启发
过程是从证明两字开始的
g和h的通式都写出来了，且符合结论。
证明已经完整了。
记得以前，看过一个大数学家论文，证明一个猜想错误。那人只拿出了一个反例，就一段话。
总之，通式都出来了。
它是靠猜想的假设正确，解出结果，结果符合结论，且式子符合所有情况（关键）。
可以当作完全列举法求证。
请采纳