Question

高数不定积分的两道题求解

Answer 1

设速度为v，则单位油耗P=kv³（k＞0，k为常数）

设甲乙之间的距离为S（S为常数），那么逆流到达需要的时间t=S/(v-a)
所以，总油耗M=kv³·[S/(v-a)]
==> M'=Sk·[3v²(v-a)-v³]/(v-a)²=Skv²[3(v-a)-v]/(v-a)²
=Skv²(2v-3a)/(v-a)²
当v＞3a/2时，M'＞0，M单调递增；当0＜v＜3a/2时，M'＜0，M单调递减
所以，当v=3a/2时有极小值。

Answer 2

(2) 令x=sint
∫x^4/√(1-x^2)^3dx
=∫sin^4tcostdt/cos^3t
=∫sin^4tdt/cos^2t
=∫sin^4tdt/(1-sin^2t)
=∫(-sin^2t-1+1/cos^2t)dt
=-1/2*x^3/√(1-x^2)+3/2*x/√(1-x^2)-3/2*arcsin(x)+C