Question

在锐角△ABC中，BD是AC边上的高，E是AB边上一点，满足∠AEC＝45°，BD＝2CE，CE＝AC＋AD 求证：DE‖BC.

Answer 1

在Rt△ADB中, tanA = BD/AD…①。在△AEC中，根据正弦定理，AC/sin∠AEC = CE/sinA，代入∠AEC＝45°，可得：sinA = CE/(√2AC)……②。由于（tanA）^2 = （sinA）^2 / 【1-（sinA）^2】故将①、②分别平方并代入BD＝2CE整理可得：1 /【2AC^2 - CE^2】=4 / AD^2,再代入CE＝AC＋AD，整理可得： （CE+AC）（5CE - 7AC） = 0 ，故：AC=5CE / 7，AD = 2CE / 7，AD / AC = 2/5…③
在Rt△ADB中，AB^2 = BD^2+AD^2 = CE^2(200/49),所以AB=CE•（10√2/7）…④
下面我们来求解AE：
由cos∠AEC= √2/2 , 以及余弦定理得：AC^2=AE^2+CE^2 - √2AE•CE，用AC表示CE得：AE^2 –√2AE•CE + CE^2•（24 / 49）= 0，解此一元二次方程，可得：AE =CE •(4√2)/ 7或者CE•（3√2）/ 7。在△AEC中，根据余弦定理，整理可得：cosA = (AE^2 + AC^2 - CE^2) / (2AE`AC), 因为△ABC是锐角三角形，所以cosA>0 , 如果AE=CE•（3√2）/ 7 , 那么将导致(AE^2 + AC^2 - CE^2) / (2AE`AC)小于0，即导致cosA小于0，矛盾，所以AE只能等于CE •(4√2)/ 7 , 由④得：AE/AB = 2/5…⑤
根据 ③ 和 ⑤ ，可知：AD / AC = AE/AB，因此：DE‖BC。本题证明完毕。