Question

高阶导数问题

求图片上的高阶导数

Answer 1

化成多项式，多次求导多次代入x=0可得

追答

Answer 2

y = (x-1)^n (x+1)^n = f^n g^n, 由莱布尼茨公式得 n 阶导数 y^(n) = ∑Cf^(n-k) g^(k) 其中C表示n个取k个的组合数， f^(n-k) 表示 f 的 n-k 阶导数 ，g^(k) 表示 g 的 k 阶导数. 没有 f = x-1 项的只有 k = 0 时， 此时 C = C = 1， f^(n-k) = f^(n) = n!, g^(k) = g^(0) = 1 (因 x = 1) y^(n) (1) = n!

Answer 3

f(x) = [(x^4-x^2)+(2x^2-2)+(x+2)]/(x^2-1) = x^2 + 2 + (x+2)(x^2-1)^(-1)
f'(x) = 2x + (x^2-1)^(-1) - 2x(x+2)(x^2-1)^(-2)
f''(x) = 2 - 2x(x^2-1)^(-2) - 2(x+2)(x^2-1)^(-2)
- 2x(x^2-1)^(-2) + 8x^2(x+2)(x^2-1)^(-3)
= 2 - 2(3x+2)(x^2-1)^(-2) + 8(x^3+2x^2)(x^2-1)^(-3)
f'''(x) = -6(x^2-1)^(-2) + 8x(3x+2)(x^2-1)^(-3)
+ 8(3x^2+4x)(x^2-1)^(-3) - 48x(x^3+2x^2)(x^2-1)^(-4)
f'''(0) = -6/(-1)^2 = -6