Question

全等三角形辅助线练习题

越多要好，一定要答案，没有就算了

Answer 1

【例1】 （2006·浙江金华） 如图1，△ABC与△ABD中，AD与BC相交于O点，∠1=∠2，请你添加一个条件（不再添加其它线段，不再标注或使用其它字母），使AC=BD，并给出证明.

你添加的条件是： .
证明：
【分析】 要说明AC=BD，根据图形我们想到先说明△ABC≌△BAD，题目中已经知道∠1＝∠2，AB＝AB，只需一组对边相等或一组对角相等即可.
解：添加的条件是：BC=AD.
证明：在△ABC与△BAD中，∠1＝∠2，AB＝AB，BC=AD.
∴ △ABC≌△BAD（SAS）.
∴ AC=BD.
【小结】 本题考查了全等三角形的判定和性质，答案不惟一，若按照以下方式之一来添加条件：①BC=AD，②∠C=∠D，③∠CAD=∠DBC，④∠CAB=∠DBA，都可得△CAB≌△DBA，从而有AC=BD.
二、综合开放型
【例2】 （2006·攀枝花）如图2，点E在AB上，AC=AD，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明.

所添条件为_______________.
你得到的一对全等三角形是：
△ ≌△ .
证明：
【分析】 在已知条件中已有一组边相等，另外图形中还有一条公共边，因此再添这两边的夹角相等或另一组对边也相等即可得出全等三角形.
解：所添条件为CE=ED.
得到的一对全等三角形是△CAE≌△DAE.
证明：在△CAE和△DAE中，AC=AD，AE=AE，CE=DE，
所以 △CAE≌△DAE（SSS）.
【小结】 本题属于条件和结论同时开放的一道好题目，题目本身并不复杂，但开放程度较高，能激起同学们的发散思维，值得重视.
三、动手操作型
【例3】 （2006·济南）如图3，一张长方形纸片沿AB对折，以AB的中点O为顶点，将平角五等分，并沿五等分线折叠，再从点C处剪开，使展形后的图形为正五边形，则剪开线与OC的夹角∠OCD为（ ）.

A. 126° B. 108° C. 90° D.72°
【分析】 此题初看来很难，俗话说，实践出真知，我们不妨动手试一试，把正五边形按折痕折叠后进行对比即可找出展开图中是那个位置的角.
解：C.
【反思】 此题一方面是培养我们的空间想象能力，另一方面是培养我们的动手操作能力.
【例4】 （2006·南宁）将图中的矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，除得到图中的△C′BA′和△ADC全等外，你还可以指出哪几对全等的三角形（不能添加辅助线和字母）？请选择其中一对加以证明.

【分析】 矩形沿对角线剪开，得到一对全等的直角三角形，由这对全等三角形和矩形固有的性质以及平移的性质我们可得到一系列有用的条件.
解：有两对全等三角形，分别为：
△AA′E≌△C′CF，△A′DF≌△CBE.
① 求证：△AA′E≌△C′CF.
证明：由平移的性质可知：AA′=CC′.
又∵ ∠A=∠C′，∠AA′E=∠C′CF=90°，
∴ △AA′E≌△C′CF.
② 求证：△A′DF≌△CBE.
证明：由平移的性质可知：A′E‖CF、A′F‖CE，
∴ 四边形A′ECF是平行四边形.
∴ A′F=CE，A′E=CF.
又∵ A′B=CD，
∴ DF=BE.
又∵ ∠B=∠D=90°，
∴ △A′DF≌△CBE.
四、猜想证明型
【例5】 （2006·大连）如图4，E、F分别是平行四边形ABCD的对角线BD所在直线上两点，DE=BF，请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需研究一组线段相等即可）.

（1）连结 ；（2）猜想 ；
（3）证明：
（说明：写出证明过程的重要依据）
【分析】 我们观察图形，根据平行四边形对边相等且平行的性质猜想连接FC.
解：连接FC，猜想：AE=CF.
证明：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AB‖CD，AD‖BC，BC=AD，
所以∠ADB=∠CBD.（两直线平行，内错角相等）
所以∠ADE=∠CBF.
又因为DE=BF，BC＝DA
所以△ADE≌△CBF（SAS）.
所以AE=CF.
【小结】 此题为探索、猜想、并证明的试题．猜想是一种高层次的思维活动，在先观察的基础上，提出一个可能性的猜想，再尝试能够证明它，符合我们的认知规律.
五、探索规律型
【例6】 （2006·厦门）以边长为2cm的正三角形的高为边长作第二个正三角形，以第二个正三角形的高为边长作第三个正三角形，依次类推，则第十个正三角形的边长是 cm.
【分析】 根据题意知：
第二个三角形的边长为2×，
第三个三角形的边长为2×（）2，
第四个三角形的边长为2×（）3，
……，
由此可以看出上面的数据中的指数总比三角形的序数小1，而其它不变，由此得第十个三角形的边长为2×（）9.
解：2×（）9.
【例7】 （2006·贵州毕节地区）如图，△ABC是一个边长为1的等边三角形，BB1是△ABC的高，B1B2是△ABB1的高，B2B3是△AB1B2的高，B3B4是△AB2B3的高，……，Bn-1Bn是△ABn-2Bn-1的高.

（1）求BB1、B1B2和B2B3的长；
（2）根据（1）的计算结果猜想Bn-1Bn的值（用含n的代数式表示，n为正整数）.
【分析】 通过计算（1）中BB1、B1B2和B2B3的长度我们可找到求Bn-1Bn长度的一般规律，求BB1、B1B2和B2B3长度我们有多种方法，但我们要找出一种有普遍规律的方法.
解：（1）在等边三角形ABC中，BB1是高，
∴ ∠B1BC=30°，又BC=1，
∴ BB1=cos30°·BC=×1=.
在Rt△BB1B2中，
B1B2=sin30°·BB1=×=.
同理B2B3=.
（2）根据（1）的计算，可得
Bn-1Bn=.
六、阅读归纳型
【例8】 我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定会全等，那么在什么情况下，它们会全等？
（1）阅读与证明
对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等.
对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等（证明略）.
对于这两个三形均为锐角三角形，它们也全等，证明如下：
已知△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形，AB=A1B1，BC=B1C1，∠C=∠C1.
求证△ABC≌△A1B1C1.
（请你将下列证明过程补充完整）
证明：分别过点B、B1作BD⊥CA于D，B1D1⊥C1A1于D1，
则∠BDC=∠B1D1C1=90°.
∵ BC=B1C1，∠C=∠C1，
∴ △BCD≌△B1C1D1.
∴ BD=B1D1.

（2）归纳与叙述
由（1）可得到一个正确结论，请你写出这个结论.
【分析】 要证△ABC≌△A1B1C1，因为已经知道了两边一角对应相等，所以只要再找出剩下一组对边相等或一组对角相等都可证明这两个三角形全等.
解： （1）∵ AB=A1B1，∠ADB=∠A1D1B1=90°，∴ △ADB≌△A1D1B1，
∴ ∠A=∠A1，
又∵ ∠C=∠C1，BC=B1C1，
从而得到△ABC≌△A1B1C1.
（2）归纳为：两边及其中一边的对角分别对应相等的两个锐角三角形（或直角三角形或钝角三角形）是全等的.