Question

已知函数f(x)=x^3+x-16.(

1)求过点p（2，-6）的曲线y=f(x) 的切线方程
2)直线p为曲线y=f(x)的切线，且经过原点，求直线p的方程和切点坐标

Answer 1

解：
(1)
f'(x)=3x^2+1
f'(2)=13
所求切线的斜率为13
切线方程为y+6=13(x-2)，整理，得y=13x-32
(2)
设直线P方程y=kx，切点坐标(x0,y0)
则有y0=kx0,y0=x0^3+x0-16
f'(x0)=3x0^2+1
k=3x0^2+1
y0=(3x0^2+1)x0=x0^3+x0-16
整理，得
x0^3=-8
x0=-2
k=3(-2)^2+1=13
y0=kx0=13(-2)=-26
直线P方程：y+26=13(x+2)，整理，得y=13x
所求直线P方程为y=13x，切点坐标(-2,-26)

Answer 2

1 y'=3x^2+1，代入得到y'=13，所以切线方程为y=13x-32
2 设p点x坐标为x0，那么p点坐标为(x0, x0^3+x0-16)
切线方程为y=(3x0^2+1)x-2x0^3-16
把原点坐标代入得到2x0^2-16=0，所以x0=+-2根号2
切点坐标为(2根号2, 10根号2-16)和(-2根号2, -10根号2-16)
切线方程为y=25x-16根号2-16和y=25x+16根号2-16

Answer 3

1、由于f'（x)=3x^2+1≫1，故函数单调递增
p（2，-6）在曲线y=f(x)上，
对于曲线上的点，过该点的切线的斜率和曲线在该点的导数相等
故切线的斜率k=3x4+1=13,切线方程为
y+6=13(x-2)即y-13x+32=0
2、对于曲线上的任意一点（x。，y。），其切线方程满足
y-y。=(3x。^2+1）（x-x。)
又y。=x。^3+x。-16
且对于本题有，切线过原点，即
-（x。^3+x。-16）=(3x。^2+1）（-x。)
解得：x。=-2
从而y。=x。^3+x。-16=-26
直线p的方程为：y+26=13（x+2)
即y=13x
切点坐标为（-2，-26）
（这是解过空间一定点且和曲线相切的一类题通法）