Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，对任意的X∈R，有f(x+1）-f（X）=2x恒成立，且f（0）=1

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，对任意的X∈R，有f(x+1）-f（X）=2x恒成立，且f（0）=1
（1）求f（x）的解析式
（2）求f（x）在区间[-1,1]上的最大值和最小值
求详细的解题步骤和说明，跪求大神解答，我后天就要半期考试了，连这种题都不会还怎么考试

Answer 1

f(x+1)-f(x)=[a(x+1)²+b(x+1)+c]-[ax²+bx+c]=a(2x+1)+b=2bx+a+b=2x
所以b=1,a=-1
所以f(x)=-x²+x+c
又f(0)=c=1
所以f(x)=-x²+x+1=-(x-1/2)^2+5/4，对称轴x=1/2
所以在[-1,1]上的最大值为5/4，最小值为f(-1)=-1

追问

那个2bx+a+b=2x是直接看出来的吗？如果是直接看出来得到的，下一步直接些B=1 a=-1会被扣分吗？

追答

2x=f(x+1)-f(x)=[a(x+1)²+b(x+1)+c]-[ax²+bx+c]=a(2x+1)+b=2bx+a+b