Question

初中平面几何题长方形形

长方形ABCD，角A平分线交CD于E，交BC延长线于F，P为EF的中点，连接BP，求证角DBP=45度

Answer 1

∵AE平分Rt∠BAD、AB∥CD

∴∠1=∠2=45°、∠1=∠3

∴∠2=∠3=45°

∴∠4=∠F=45°、AD=DE=BC

连接PC

∵P是EF的中点、∠ECF=90°

∴PC=EF/2=EP、∠4=∠6=45°、∠EPC=90°

∴∠DEP=∠BCP=135°

∴ΔDEP≌ΔBCP

∴PD=PB、∠7=∠8

∴∠7+∠9=∠8+∠9=∠EPC=90°

即∠DPB=90°

∴ΔDPB是等腰直角三角形

∴∠DBP=45°

Answer 2

∵AF是直角BAD的角平分线
∴<BAF=45º
∴直角三角形ABE是等腰直角三角形
BE=AB
∵AB//DF
∴<F=<BAF=45º
那么直角三角形CEF是等腰直角三角形
∴CE=CF
∵CE+BE=BC
∴DF=CF+DC=CF+AB=CF+BE=CE+BE=BC
∵G 是等腰直角三角形CEF斜边上的中点
∴CG=1/2EF=GF
且CG平分直角ECF
在三角形BCG和三角形DGF中
CG=GF <BCG=<F=45º BC=DF
∴三角形BCG≌三角形DGF
∴BG=DG
<GBC=<GDF
∵在四边形ABGD中
<ABG+<ADG=(90º+<GBC)+(90º-<GDF）=180º
∴<BAD+<BGD=180º
∵<BAD=90º
∴<BGD=90º
∴三角形BGD是等腰直角三角形
∴<BDG=45º